GPS Navigation

Grundlagen der Positionsbestimmung, Modelle und Satelliten

Die mathematischen Grundlagen der Positionsbestimmung auf der Erde mittels GPS Satelliten findet man in epischer Breite in zahlreichen Veröffentlichungen, in der Wikipedia und auf Seiten der NASA, die mit dem Navstar Programm Anfang der 80er Jahre die Entwicklung einleitete. Gedacht war das System zur Steuerung von Kampfschiffen und der Preis von etwa 1 Mio. DM für einen Empfänger schränkte den Nutzerkreis auf interessierte Stellen und auf das Militär ein. Damals machten die seltenen und wertvollen Geräte lange Reisen, so z.B. vom Institut für Geodäsie der Universität Bonn in die Antarktis und eine einzige Koordinatenbestimmung dauerte vielleicht einen Tag und mehr. Damals waren nämlich nicht nur die Empfänger selten, sondern auch die Satelliten, sodass die erforderliche Anzahl von vier Satelliten nicht permanent über dem Horizont sichtbar war. Damals war die Rechenleistung eines Hochschulrechenzentrums geringer als das, was heute in jedem Wohnzimmer steht. Und da die Amerikaner aus Angst vor der hochgenauen Bestimmung des Erschwerefeldes die gesendeten Bahndaten der Satelliten verfälschten, durften nur sicherheitsdienstlich überprüfte Mitarbeiter die tatsächlichen Bahndaten nachträglich auswerten, was letztlich erst auf geodätisch brauchbare Ergebnisse führte.

Mathematik zu erklären ohne Mathematik zu benutzen ist eine Kunst, die nur wenige Redakteure einer Wissenschaftsredaktion beherrschen - und mit denen will ich nicht konkurrieren. Trotzdem soll hier das prinzipielle Modell gezeigt werden, das mit der Tangente an die Erde zugleich die für Karten übliche Ebene der Projektion darstellt. Die Höhe repräsentiert den Abstand des Beobachters vom Ellipsoid, gemessen entlang der Flächennormalen.

GPS Satelliten fliegen auf polnahen Bahnen um die Erde und senden dabei Signale aus, die Informationen über die aktuelle Position enthalten und über den Zeitpunkt der Ausstrahlung. Dieser Zeitpunkt ist entscheidend für die Berechnung der Signallaufzeit, die aus der Differenz von Sende- und Empfangszeitpunkt berechnet wird. Aus der Position der Satelliten und der Strecke zum Beobachter, die sich als Produkt aus Laufzeit und Lichtgeschwindigkeit ergibt, lassen sich theoretisch die drei unbekannten Koordinaten des Beobachters im Raum berechnen. Leider ist der Empfangszeitpunkt wegen der großen Geschwindigkeit des Lichts nicht mit hinreichender Genauigkeit zu reproduzieren; dazu müsste man Atomuhren durch die Gegend schleppen. Deshalb wird der Empfangszeitpunkt als vierte Unbekannte in die Gleichungen eingeführt, weshalb eine vierte Beobachtung (und damit ein vierter Satellit) zur Lösung des Gleichungssystems erforderlich ist. Das Bild zeigt einen fünften Satelliten, womit das Gleichungssystem überbestimmt ist. Statt dieses nach gängigen Ausgleichungsverfahren zu lösen und die gewonnene Genauigkeit durch einen erheblichen zusätzlichen Rechenaufwand zu erkaufen, ermittelt der GPS Empfänger zumeist den geometrisch günstigsten Schnitt aus den möglichen Kombinationen. Die Berechnung der Schnittgenauigkeit ist zudem nur periodisch erforderlich, da sich die Satellitenkonstellation mit der Zeit moderat ändert.

Die ersten Navstar Satelliten flogen 800 km über der Erde und konnten in klaren Nächten am Himmel identifiziert werden. Wegen der kurzen Umlaufzeiten in dieser geringen Höhe wurde ein Erdquadrant in weniger als 20 Minuten durchstreift, was als hoch und schnell in Richtung Polarstern dahinziehende Leuchtpunkte wahrgenommen werden konnte. Tieffliegende Satelliten unterliegen aber auch in hohem Maße dem Einfluss der Restatmosphäre, sodass die Geschwindigkeit unregelmäßig war und genaue Bahndaten erheblicher Korrekturen bedurften. Heute fliegen 36 Satelliten etwa 25000 km über der Erde, wodurch bei großer Horizontfreiheit etwa zehn Satelliten zugleich sichtbar sind.

Sehr viel weiter gehen die Ausführungen auf kowoma. Eine wirklich lesenswerte Seite des Netzes!