Die mathematischen Grundlagen der Positionsbestimmung auf
der Erde mittels GPS Satelliten findet man in epischer Breite in
zahlreichen Veröffentlichungen, in der Wikipedia und auf Seiten der
NASA, die mit dem Navstar Programm Anfang der 80er Jahre die
Entwicklung einleitete. Gedacht war das System zur Steuerung von
Kampfschiffen und der Preis von etwa 1 Mio. DM für einen Empfänger
schränkte den Nutzerkreis auf interessierte Stellen und auf das Militär
ein. Damals machten die seltenen und wertvollen Geräte lange Reisen, so
z.B. vom Institut für Geodäsie der Universität Bonn in die Antarktis
und eine einzige Koordinatenbestimmung dauerte vielleicht einen Tag und
mehr. Damals waren nämlich nicht nur die Empfänger selten, sondern auch
die Satelliten, sodass die erforderliche Anzahl von vier Satelliten
nicht permanent über dem Horizont sichtbar war. Damals war die
Rechenleistung eines Hochschulrechenzentrums geringer als das, was
heute in jedem Wohnzimmer steht. Und da die Amerikaner aus Angst vor
der hochgenauen Bestimmung des Erschwerefeldes die gesendeten Bahndaten
der Satelliten verfälschten, durften nur sicherheitsdienstlich
überprüfte Mitarbeiter die tatsächlichen Bahndaten nachträglich
auswerten, was letztlich erst auf geodätisch brauchbare Ergebnisse
führte.
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GPS Satelliten fliegen auf polnahen Bahnen um die Erde und
senden dabei Signale aus, die Informationen über die aktuelle Position
enthalten und über den Zeitpunkt der Ausstrahlung. Dieser Zeitpunkt ist
entscheidend für die Berechnung der Signallaufzeit, die aus der
Differenz von Sende- und Empfangszeitpunkt berechnet wird. Aus der
Position der Satelliten und der Strecke zum Beobachter, die sich als
Produkt aus Laufzeit und Lichtgeschwindigkeit ergibt, lassen sich
theoretisch die drei unbekannten Koordinaten des Beobachters im Raum
berechnen. Leider ist der Empfangszeitpunkt wegen der großen
Geschwindigkeit des Lichts nicht mit hinreichender Genauigkeit zu
reproduzieren; dazu müsste man Atomuhren durch die Gegend schleppen.
Deshalb wird der Empfangszeitpunkt als vierte Unbekannte in die
Gleichungen eingeführt, weshalb eine vierte Beobachtung (und damit ein
vierter Satellit) zur Lösung des Gleichungssystems erforderlich ist.
Das Bild zeigt einen fünften Satelliten, womit das Gleichungssystem
überbestimmt ist. Statt dieses nach gängigen Ausgleichungsverfahren zu
lösen und die gewonnene Genauigkeit durch einen erheblichen
zusätzlichen Rechenaufwand zu erkaufen, ermittelt der GPS Empfänger
zumeist den geometrisch günstigsten Schnitt aus den möglichen
Kombinationen. Die Berechnung der Schnittgenauigkeit ist zudem nur
periodisch
erforderlich, da sich die Satellitenkonstellation mit der Zeit moderat
ändert.
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Die ersten Navstar Satelliten flogen 800 km über der Erde und
konnten in klaren Nächten am Himmel identifiziert werden. Wegen der
kurzen Umlaufzeiten in dieser geringen Höhe wurde ein Erdquadrant in
weniger als 20 Minuten durchstreift, was als hoch und schnell in
Richtung Polarstern dahinziehende Leuchtpunkte wahrgenommen werden
konnte. Tieffliegende Satelliten unterliegen aber auch in hohem Maße
dem Einfluss der Restatmosphäre, sodass die Geschwindigkeit
unregelmäßig war und genaue Bahndaten erheblicher Korrekturen
bedurften. Heute fliegen 36 Satelliten etwa 25000 km über der
Erde, wodurch bei großer Horizontfreiheit etwa zehn Satelliten zugleich
sichtbar sind.
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Sehr viel weiter gehen die Ausführungen auf kowoma. Eine wirklich lesenswerte
Seite des Netzes!
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